Орлов А.И. Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты: Непараметрическое оценивание математического ожидания

Непараметрическое оценивание математического ожидания

В непараметрической постановке оценивают либо характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации), либо ее функцию распределения, плотность и т.п. Так, в силу закона больших чисел выборочное среднее арифметическое  является состоятельной оценкой математического ожидания М(Х) (при любой функции распределения F(x) результатов наблюдений, для которой математическое ожидание существует). С помощью центральной предельной теоремы определяют асимптотические доверительные границы

(М(Х))_Н = , (М(Х))_В = .

где γ – доверительная вероятность,  - квантиль порядка  стандартного нормального распределения N(0;1) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией,  - выборочное среднее арифметическое, s – выборочное среднее квадратическое отклонение. Термин «асимптотические доверительные границы» означает, что вероятности

P{(M(X))_H < M(X)}, P{(M(X))_B > M(X)},

P{(M(X))_H < M(X) < (M(X))_B}

стремятся к ,  и γ соответственно при n → ∞, но, вообще говоря, не равны этим значениям при конечных n. Практически асимптотические доверительные границы дают достаточную точность при n порядка 10.