Прикладная статистика: Моделирование и анализ многомерных временных рядов

Часть 3. Методы прикладной статистики

3.3. Статистика временных рядов

3.3.4. Моделирование и анализ многомерных временных рядов

Рассмотрим методы моделирования и анализа многомерных временных рядов, используемых для изучения реальных процессов взаимовлияния факторов на основе подхода ЖОК, описанного в предыдущем подразделе.

Основные сведения о системе ЖОК. Компьютерная система ЖОК – это система поддержки анализа и управления в сложных ситуациях^{^[1]}, описываемых многомерными временными рядами. Она предназначена для структуризации и анализа сложных, трудно формализуемых, слабо структурированных задач различной природы (экономической, управленческой, прогностической, технической, медицинской, социально-политической, экологической и пр.). Она применяется для построения моделей ситуаций на основе описания влияний факторов. Это делается с помощью ориентированных графов и использования оценок экспертов с последующим определением наиболее эффективных управленческих решений. Компьютерная система ЖОК:

- поддерживает аналитическое обоснование подходов к решению исследуемых проблем;

- позволяет спрогнозировать развитие моделируемой реальной системы; оценить результаты целенаправленного изменения тех или иных факторов;

- дает возможность выработать условия для целенаправленного поведения в исследуемой ситуации;

- обеспечивает возможность решения прямых и обратных задач управления.

Для построения модели изучаемого явления или процесса компьютерная система ЖОК предусматривает выделение основных факторов, описывающих реальную ситуацию, и установление непосредственных взаимосвязей между факторами в виде построения ориентированного взвешенного графа. Опосредованные взаимовлияния и итоговое стационарное состояние рассчитываются по описанным ниже алгоритмам. Система позволяет анализировать три основных типа сценариев:

сценарий “Прогноз”, позволяющий проследить “естественное” развитие моделируемой системы при отсутствии активных воздействий;

сценарий типа “Активный”, при котором работающий с системой специалист изменяет значения тех или иных параметров и анализирует получающуюся динамику и итоговое состояние (например, с целью ручного поиска рационального управления);

сценарий типа “Цель”, когда компьютерная система по заданной цели управления (например, значения определенных параметров должны быть не менее заданных) находит оптимальные воздействия путем решения соответствующей задачи оптимизации. В частности, проводит анализ принципиальной достижимости указанной цели из текущего состояния с использованием выбранных мероприятий (управлений).

Ядром компьютерной системы ЖОК является описанная ниже математическая модель. Преобразование задач анализа реальных явлений и процессов к математической постановке, оценка адекватности реальности и ее модели, процесс выбора управлений, процесс сравнительного анализа различных ситуаций в целом, моделирования и последующей интерпретации результатов математического моделирования относится к области “ручного труда” специалиста в соответствующей области знания и полной автоматизации, как правило, не поддается.

Компьютерная система ЖОК обеспечивает расчет равновесного (стационарного) состояния, к которому будет стремиться система взаимовлияющих факторов, и всех промежуточных состояний на пути от начального состояния к равновесному. В систему включены три варианта расчетов:

- расчет равновесного состояния без управления (учитываются только начальные данные);

- расчет равновесного состояния с управлением импульсного типа (при t = 0). (В такой модели система интерпретирует импульсное управление, как поправку к начальным данным.);

- расчет величины управления по заданным значениям величины приращения целевых факторов.

Математические алгоритмы исследовательской системы ЖОК. Используются следующие обозначения:

n - количество вершин в ориентированном графе G модели, т.е. число используемых в модели факторов;

- матрица порядка nЧn непосредственных влияний факторов (матрица смежности графа G);

- матрица, транспонированная к матрице (называемая матрицей непосредственных контрвлияний факторов);

t – время, принимающее дискретные значения 0, 1, 2, 3, …

вектор , t = 0, 1, 2, 3, …, - вектор изменений (приращений, дифференциалов) факторов в момент дискретного времени t;

вектор , t = 0, 1, 2, 3, …, является вектором дифференциалов факторов второго порядка в момент дискретного времени t;

вектор обозначает величины предельных стационарных изменений (дифференциалов) факторов при безграничном росте t. Очевидно, что если существует, то

);

вектор

обозначает внешние управляющие воздействия, подаваемые на фактор .в момент t;

вектор обозначает сравнительную важность факторов , задаваемую экспертным путем;

вектор обозначает отношение составителя модели к направлению изменения величин факторов (+1 – рост значения фактора оценивается положительно, (-1) – отрицательно, 0 – нейтрально);

- единичная n´n матрица (на главной диагонали стоят 1, на остальных позициях – 0);

- прореженная единичная n´n матрица, в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые соответствуют целевым факторам. Очевидно, что является проектором на координатную плоскость целевых факторов, и следовательно , матрица является псевдообратной к матрице ;

- прореженная единичная n´n матрица, в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые соответствуют управляющим факторам. Очевидно, что является проектором на координатную плоскость управляющих факторов, и, следовательно , матрица является псевдообратной к матрице ;

- резольвента, где - множитель-стабилизатор, который используется в целях обеспечения достаточно устойчивой и быстрой сходимости итерационного процесса приближенного вычисления матрицы резольвентного оператора

где p достаточно велико. Полагают в том случае, если собственные числа матрицы достаточно малы (обычно принимается, что должна иметь собственные числа не только меньше единицы, но и меньше 0.9). Поскольку стабилизатор имеет лишь внутриматематический смысл и не используется при построении модели и интерпретации результатов расчетов, то в дальнейшем его не будем упоминать, предполагая по умолчанию .

Система уравнений в математико-статистической модели. Для описания динамики факторов в компьютерной системе ЖОК используется математико-статистическая модель в виде системы линейных конечноразностных рекуррентных уравнений на трехточечном шаблоне {t-1, t, t+1} следующего вида:

(1),

с начальными условиями

(2),

где i = 1, 2, ... , n , t = 0, 1, 2, ...

Для рекуррентного уравнения на трехточечном шаблоне необходимо задать начальные условия при t = 0 () и t = 1 (). Следовательно, первым уравнением цепочки рекуррентных уравнений (1) будет уравнение при t = 1.

При t = 1 уравнение полагается определенным и имеет вид

Для t = 0 уравнение определяется посредством соотношения

(3),

и тогда недостающие начальные данные вычисляются из уравнения

(4)

Заметим, что доопределение начальных данных нулем - всего лишь один из способов. В частности, если положить , то результаты вычислений будут другими.

Из уравнений (1) видно, что используемая модель предполагает, что за один шаг дискретного времени (Dt = 1) происходит распространение влияния факторов-аргументов только на непосредственно от них зависящие факторы-функции. Времени можно придать содержательный смысл, если за шаг принять реальный интервал времени, необходимый для осуществления непосредственного влияния одного фактора на другой. Этот интервал может быть оценен экспертно, В ряде случаев его можно принять равным кварталу.

Уравнение (1) - (2) в векторной форме имеет вид

(5)

, (6)

где t = 0, 1, 2, ... Решение задачи (5)-(6) определяются формулой

(7).

Стационарное состояние и начальные условия. Стационарное состояние вычисляется приближенно при . Для практических расчетов достаточно принять, что .

Векторное уравнение (5) может быть представлено в виде уравнения для дифференциалов второго порядка:

(8)

, (9)

где t = 0, 1, 2, ... Решение уравнения (8) – (9) имеет вид

(10).

Если просуммировать уравнения (8) при t = 0, 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)

(11),

откуда следует

(12)

Если же просуммировать уравнения (8) при t = 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)

, (13)

и соответственно

, (14),

откуда видно, что при выборе начальных условий вида результат (14) отличается от (12).

В частности, при выборе режима прогноза развития ситуации без управления и выборе начальных условий , которые выражают равенство нулю вторых производных от величин факторов при t = 0, из формулы (14) получим . Это означает, что никакого развития ситуации не происходит. Она продолжает двигаться “равномерно и прямолинейно”, поскольку вторые дифференциалы факторов равны нулю и первые дифференциалы факторов не изменяются во времени.

С другой стороны, формула (12) предполагает, что начальные данные оказывают такое же ударное воздействие в момент t = 0, как и внешнее импульсное при t = 0 управление, играющее роль (и имеющее “размерность”) “механической силы”.

Если предполагается использование только импульсных управляющих воздействий при t = 0 и в дальнейшем , то задача развития ситуации без управления и с управлением не отличаются друг от друга, поскольку управление в сущности играет роль поправки к начальным данным и, обратно, начальные данные выполняют роль поправки к управлению.

Режим поиска управления по целевым значениям факторов. Проекция стационарного решения (12) уравнения (8) - (9) на координатную плоскость целевых факторов может быть представлено в виде

где

, ,

или иначе

. (15).

Пусть - вектор значений дифференциалов целевых факторов, тогда импульсное управление определяется по формуле

, (16),

где “+” обозначает операцию псевдоинверсии, и матрица является псевдообратной к матрице ;

является результатом применения к вектору операции - ограничения числовых значений компонент вектора величинами +1 и -1 , если эти значения выходят за пределы отрезка [-1; +1];

получается из применением операции - замены числовых значений ближайшими к ним экстремальными на отрезке [-1; +1] величинами +1 или -1 соответственно.

Тогда стационарные решения, получаемые с использованием этих управлений, вычисляются по формулам

Степени матрицы смежности графа G и опосредованные взаимовлияния факторов. Пусть вершина x1 влияет на вершину x2 с силой 0.5, вершина x2 влияет на x4 с силой 0.6, вершина x1 влияет на x3 с силой 0.8, вершина x3 влияет на x4 с силой 0.4. Тогда опосредованное суммарное влияние x1 на x4 имеет силу

0.5Ч0.6 + 0.8Ч0.4 = 0.62,

что равно сумме весов двух путей x1 → x2 → x4 и x1 → x3 → x4 из x1 в x4, веса которых равны соответственно 0.5Ч0.6 = 0.3 и 0.8Ч0.4 = 0.32. Суммарная сила влияния одного фактора на другой равна сумме весов всех маршрутов в ориентированном графе G, ведущих из одного фактора в другой. Вес пути (маршрута) определяется как произведение весов дуг составляющих этот путь (маршрут).

Если рассмотреть степени матрицы , то их элементам можно придать вполне определенный смысл. Так, например, элемент матрицы с координатами (1,2) равен сумме весов всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно две дуги, а в сумме весов всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно три дуги и т.д. Таким образом, матрица выражает суммарные опосредованные влияния факторов друг на друга с учетом рефлексивного (при m = 0) непосредственного влияния фактора на самое себя с силой +1, а матрица не учитывает рефлексивного непосредственного влияния.

Матрица является матрицей контрвлияний факторов с учетом рефлексивности, а матрица

- матрицей контрвлияний факторов без учета рефлексивности.

Отдельный интерес представляет собой матрица знаков элементов матрицы , т.е. матрица направленности интегральных влияний фактора на фактор (или контрвлияний, если рассмотреть матрицу ).