Орлов А.И. Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты:

Доверительное оценивание

Какова точность оценки параметра? В каких границах он может лежать? В научных публикациях и учебной литературе, в нормативно-технической и инструктивно-методической документации, в таблицах и программных продуктах наряду с алгоритмами расчетов точечных оценок даются правила нахождения доверительных границ. Они и указывают точность точечной оценки. При этом используются такие термины, как доверительная вероятность, доверительный интервал. Если речь идет об оценивании нескольких числовых параметров, или же функции, упорядочения и т.п., то говорят об оценивании с помощью доверительной области.

Доверительная область – это область в пространстве параметров, в которую с заданной вероятностью входит неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. «Заданная вероятность» называется доверительной вероятностью и обычно обозначается γ. Пусть Θ – пространство параметров. Рассмотрим статистику Θ₁ = Θ₁(x₁, x₂,…, x_n) – функцию от результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n, значениями которой являются подмножества пространства параметров Θ. Так как результаты наблюдений – случайные величины, то Θ₁ – также случайная величина, значения которой – подмножества множества Θ, т.е. Θ₁ – случайное множество. Напомним, что множество – один из видов объектов нечисловой природы, случайные множества изучают в теории вероятностей и статистике объектов нечисловой природы.

В ряде литературных источников, к настоящему времени во многом устаревших, под случайными величинами понимают только те из них, которые в качестве значений принимают действительные числа. Согласно справочнику академика РАН Ю.В.Прохорова и проф. Ю.А.Розанова [12] случайные величины могут принимать значения из любого множества. Так, случайные вектора, случайные функции, случайные множества, случайные ранжировки (упорядочения) – это отдельные виды случайных величин. Используется и иная терминология: термин «случайная величина» сохраняется только за числовыми функциями, определенными на пространстве элементарных событий, а в случае иных областей значений используется термин «случайный элемент». (Замечание для математиков: все рассматриваемые функции, определенные на пространстве элементарных событий, предполагаются измеримыми.)

Статистика Θ₁ называется доверительной областью, соответствующей доверительной вероятности γ, если

   (5)

Ясно, что этому условию удовлетворяет, как правило, не одна, а много доверительных областей. Из них выбирают для практического применения какую-либо одну, исходя из дополнительных соображений, например, из соображений симметрии или минимизируя объем доверительной области, т.е. меру множества Θ₁.

При оценке одного числового параметра в качестве доверительных областей обычно применяют доверительные интервалы (в том числе лучи), а не иные типа подмножеств прямой. Более того, для многих двухпараметрических и трехпараметрических распределений (нормальных, логарифмически нормальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и др.) обычно используют точечные оценки и построенные на их основе доверительные границы для каждого из двух или трех параметров отдельно. Это делают для удобства пользования результатами расчетов: доверительные интервалы легче применять, чем фигуры на плоскости или тела в трехмерном пространстве.

Как следует из сказанного выше, доверительный интервал – это интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. Границы доверительного интервала называют доверительными границами. Доверительная вероятность γ – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. Оцениванием с помощью доверительного интервала называют способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Для числового параметра θ рассматривают верхнюю доверительную границу θ_В, нижнюю доверительную границу θ_Н и двусторонние доверительные границы – верхнюю θ_1В и нижнюю θ_1Н. Все четыре доверительные границы – функции от результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n и доверительной вероятности γ.

Верхняя доверительная граница θ_В – случайная величина θ_В = θ_В(x₁, x₂,…, x_n; γ), для которой Р(θ<θ_В) = γ, где θ – истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид (-∞; θ_В].

Нижняя доверительная граница θ_Н – случайная величина θ_Н = θ_Н(x₁, x₂,…, x_n; γ), для которой Р(θ>θ_H) = γ, где θ – истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид [θ_H; +∞).

Двусторонние доверительные границы - верхняя θ_1В и нижняя θ_1Н - это случайные величины θ_1В = θ_1В(x₁, x₂,…, x_n; γ) и θ_1Н = θ_1Н(x₁, x₂,…, x_n; γ) такие, что Р(θ_1H<θ<θ_1В) = γ, где θ – истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид [θ_1H; θ_1В].

Вероятности, связанные с доверительными границами, можно записать в виде частных случаев формулы (5):

В нормативно-технической и инструктивно-методической документации, научной и учебной литературе используют два типа правил определения доверительных границ – построенных на основе точного распределения и построенных на основе асимптотического распределения некоторой точечной оценки θ_n параметра θ. Рассмотрим примеры.

Пример 10. Пусть x₁, x₂,…, x_n – выборка из нормального закона N(m, σ), параметры m и σ неизвестны. Укажем доверительные границы для m.

Известно [11], что случайная величина

имеет распределение Стьюдента с (т-1) степенью свободы, где  - выборочное среднее арифметическое и s₀ – выборочное среднее квадратическое отклонение. Пусть  и  - квантили указанного распределения порядка γ и 1-γ соответственно. Тогда

P{Y < t_γ(n-1)} = γ, P{Y > t_1-γ(n-1)} = γ.

Следовательно,

,

т.е. в качестве нижней доверительной границы θ_Н, соответствующей доверительной вероятности γ, следует взять

.   (6)

Аналогично получаем, что

.

Поскольку распределение Стьюдента симметрично относительно 0, то  = - . Следовательно, в качестве верхней доверительной границы θ_В для m, соответствующей доверительной вероятности γ, следует взять

.   (7)

Как построить двусторонние доверительные границы? Положим

где θ_1Н и θ_1В заданы формулами (6) и (7) соответственно. Поскольку неравенство θ_1Н < m < θ_1В выполнено тогда и только тогда, когда

,

то

P{θ_1H < m < θ_1B} = γ₁ + γ₂ - 1, 

(в предположении, что γ₁ > 0,5; γ₂ > 0,5). Следовательно, если γ = γ₁ + γ₂ – 1, то θ_1Н и θ_1В – двусторонние доверительные границы для m, соответствующие доверительной вероятности γ. Обычно полагают γ₁ = γ₂, т.е. в качестве двусторонних доверительных границ θ_1Н и θ_1В, соответствующих доверительной вероятности γ, используют односторонние доверительные границы θ_Н и θ_В, соответствующие доверительной вероятности (1+γ)/2.

Другой вид правил построения доверительных границ для параметра θ основан на асимптотической нормальности некоторой точечной оценки θ_n этого параметра. В вероятностно-статистических методах принятия решений используют, как уже отмечалось, несмещенные или асимптотически несмещенные оценки θ_n, для которых смещение либо равно 0, либо при больших объемах выборки пренебрежимо мало по сравнению со средним квадратическим отклонением оценки θ_n. Для таких оценок при всех х

,

где Ф(х) – функция нормального распределения N(0;1). Пусть u_γ – квантиль порядка γ распределения N(0;1). Тогда

   (8)

Поскольку неравенство

равносильно неравенству

,

то в качестве θ_Н можно было бы взять левую часть последнего неравенства. Однако точное значение дисперсии D(θ_n) обычно неизвестно. Зато часто удается доказать, что дисперсия оценки имеет вид

(с точностью до пренебрежимо малых при росте n слагаемых), где h(θ) – некоторая функция от неизвестного параметра θ. Справедлива теорема о наследовании сходимости [7, §2.4], согласно которой при подстановке в h(θ) оценки θ_n  вместо θ соотношение (8) остается справедливым, т.е.

.

Следовательно, в качестве приближенной нижней доверительной границы следует взять

,

а в качестве приближенной верхней доверительной границы -

.

С ростом объема выборки качество приближенных доверительных границ улучшается, т.к. вероятности событий {θ > θ_H} и {θ <θ_B} стремятся к γ. Для построения двусторонних доверительных границ поступают аналогично правилу, указанному выше в примере 10 для интервального оценивания параметра m нормального распределения. А именно, используют односторонние доверительные границы, соответствующие доверительной вероятности (1+γ)/2.

При обработке экономических, управленческих или технических статистических данных обычно используют значение доверительной вероятности γ = 0,95. Применяют также значения γ = 0,99 или γ = 0,90. Иногда встречаются значения γ = 0,80, γ = 0,975, γ = 0,98 и др.