Орлов А.И. Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты: Биномиальное распределение

Биномиальное распределение

Случайная величина В = X₁ + X₂ +…+ X_k называется биномиальной. Ясно, что 0<B<k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие В = а осуществляется тогда и только тогда, когда событие А наступает ровно при а испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события А и в k-а опытах противоположного ему – это вероятность произведения k независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей, т.е. р^а(1 - р)^k-a. Сколькими способами можно задать номера а испытаний из k? Это  - число сочетаний из k элементов по а, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно,

где символом k! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до k, т.е.  (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид

Название «биномиальное распределение» основано на том, что Р(В = а) является членом с номером (а+1) в разложении по биному Ньютона

если положить А = 1 – р, С = р. Тогда при j = a получим

Для числа сочетаний из k элементов по а, кроме , используют более распространенное в отечественной литературе  обозначение .

Из утверждения 10 и расчетов примера 9 следует, что для случайной величины В, имеющей биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами

поскольку В является суммой k независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, найденными в примере 9.