Главная страница --> Экономические научные работы (книги)

Мазурова Т. В. Новые стандар .. | Гольдштейн Г.Я. Стратегическ .. | Гольдштейн Г.Я.,  Гуц А.Н. Э .. | Сербин В.Д. Основы логистики .. | Гриненко С.В. Экономика недв .. |


Орлов А.И. Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты: Закон больших чисел

2. Основы теории вероятностей

Закон больших чисел

Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы  части прикладной математической статистики.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х1, Х2,…, Хk попарно независимы и существует число С такое, что D(Xi)<C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного  выполнено неравенство

   (11)

Доказательство. Рассмотрим случайные величины Yk = Х1 + Х2+…,+  Хk и Zk = Yk/k. Тогда согласно утверждению 10

М(Yk) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хk), D(Yk) = D1)+D2)+…+Dk).

Из свойств математического ожидания следует, что М(Zk) = М(Yk)/k, а из свойств дисперсии - что D(Zk) = D(Yk)/k2. Таким образом,

М(Zk) ={М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хk)}/k,

D(Zk) ={D1)+D2)+…+Dk)}/k2.

Из условия теоремы Чебышёва, что 

Применим к Zk второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

что и требовалось доказать.

Эта теорема была получена П.Л.Чебышёвым в той же работе 1867 г. «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва.

Пример 13. Пусть С = 1,  = 0,1. При каких k правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равно 100/ k. Она не превосходит 0,1, если k не меньше 1000, не превосходит 0,05, если k не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если k не меньше 10 000 000.

Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании k и фиксированных С и  убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом . Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все Xi , i = 1, 2, …, имеют одно и то же математическое ожидание M(X1) и одну и ту же дисперсию . В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое

Из закона больших чисел следует, что  при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к М(Х1), что записывают так:

Здесь знак  означает «сходимость по вероятности». Обратим внимание, что понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе. Напомним, что последовательность bn имеет предел b при , если для любого сколь угодно малого  существует число  такое, что при любом  справедливо утверждение: . При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число  и утверждение  предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее .

Сходимость частот к вероятностям. Уже отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математики Якоб Бернулли (1654-1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова.

Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в k независимых (попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом  справедливо неравенство

   (12)

Доказательство. Как показано в примере 10, случайная величина m имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха р и является суммой k независимых случайных величин Xi, i = 1, 2. …, k, каждое из которых равно 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1, т.е. m= X1+ X2+…+ Xk .Применим к X1, X2,…, Xk теорему Чебышёва с С = р(1 - р) и получим требуемое неравенство (12).

Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по Р. Мизесу (1883-1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты  в бесконечной последовательности испытаний. Продемонстрируем эту связь. Для этого сначала отметим, что

при всех р. Действительно,

Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать С = ¼. Тогда при любом р и фиксированном  правая часть неравенства (12) при возрастании k приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.

Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения герба равна ½ из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба – частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз – частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 [6, с.148].



Похожие по содержанию материалы:
Оценка синергизма набора СЗХ - Основы менеджмента ..
Прикладная статистика: Метод проверки гипотез по совокупности малых выборок ..
Прикладная статистика: Проблема множественных проверок статистических гипотез ..
Теория принятия решений: Асимптотический линейный регрессионный анализ для интервальных данных ..
Мазурова Т. В. Новые стандарты эмиссии: что нового? ..
Гольдштейн Г.Я. Стратегические аспекты управления НИОКР: Основные типы реакций фирмы на изменения во ..
Гольдштейн Г.Я.,  Гуц А.Н. Экономический инструментарий принятия управленческих решений: Анализ фина ..
Сербин В.Д. Основы логистики: Анализ опыта организации сбытовых систем ..
Гриненко С.В. Экономика недвижимости: Управление рынком недвижимости ..
Нечисловая статистика: Экстремальные статистические задачи ..
Орлов А.И. Эконометрика: Проверка однородности двух биномиальных выборок ..
Миссия организации: сущность, содержание - Основы менеджмента ..
Яркина Т.В. Основы экономики предприятия: Нематериальные ресурсы и активы ..


Похожие документы из сходных разделов


Маркетинг: Менеджмент: Оценка эффективности управления

II. МЕНЕДЖМЕНТ

15. Оценка эффективности управления

Задачи повышения эффективности управления связаны с принципиальными изменениями в системе руководства предприятиями. Уменьшается роль государственной формы собственности с ее административно-командной системой управления и возрастает роль коммерческих структур с ее «горизонтальными» связями. Это требует новых знан .. читать далее


Орлов А.И. Менеджмент: Маркетинг

ЧАСТЬ 2. КОНКРЕТНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ МЕНЕДЖМЕНТА

2.1. МАРКЕТИНГ

 Термин "маркетинг" (по-английски marketing) происходит от market (рынок) и обозначает деятельность по изучению и завоеванию рынка. В настоящее время это слово можно произносить либо с ударением на первом слоге (подчеркивая знакомство с английским оригиналом), либо на втором .. читать далее


Орлов А.И. Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты: О проверке статистических гипотез

2. Основы теории вероятностей

О проверке статистических гипотез

С помощью неравенства (12) можно кое-что сказать по поводу проверки соответствия качества продукции заданным требованиям.

Пусть из 100000 единиц продукции 30000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую в .. читать далее