Орлов А.И. Эконометрика: Асимптотическая теория одноступенчатых планов статистического контроля

13.2. Асимптотическая теория одноступенчатых планов статистического контроля

Пусть Х - число дефектных единиц продукции в выборке объема n. Как уже отмечалось, распределение Х является биномиальным и имеет вид

Р (Х= k) = C_n^k p^k (1—p)^{n - k} ,  

где C_n^k - число сочетаний из n элементов по k, а p - входной уровень дефектности.

Пусть используется одноступенчатый план контроля (n, c). Тогда оперативная характеристика этого плана имеет вид

Пусть  Тогда по Закону Больших Чисел теории вероятностей (по теореме Бернулли)

(сходимость по вероятности). Значит, если с/n окажется заметно меньше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда приниматься, а если с/n окажется заметно больше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда отклоняться. Ситуация будет нетривиальной только там, где величины с/n и р близки друг к другу.

Хотя оперативная характеристика приближается с помощью сумм биномиальных вероятностей, целесообразно найти для нее приближение с помощью теоремы Муавра-Лапласа. Имеем цепочку тождественных преобразований:

Однако справа строит именно то выражение, которое участвует в теореме Муавра-Лапласа. Воспользовавшись равномерной сходимостью в этой теореме, можно записать, что

где (х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Поскольку параметры в этой формуле связаны соотношением

то можно указать альтернативный вариант асимптотического выражения для оперативной характеристики:

Последняя формула позволяет без труда написать асимптотические выражения для приемочного и браковочного уровней дефектности. Действительно, согласно определениям этих понятий

откуда с помощью элементарных преобразований получаем, что

Поскольку при практическом применении статистического приемочного контроля, как уже отмечалось, принимают = 0,05, =0,10, то в предыдущие формулы следует подставить =1,64 и  Итак, итоговые формулы для приемочного и браковочного уровней дефектности имеют вид

     (10)

Из формул (10) следует, в частности, что

(11)

Следовательно, оценкой приемочной доли (отношения приемочного числа к объему выборки) является

.  (12)

Из формулы (10) следует, что

      (13)

Следовательно, из формул (12) и (13) вытекает способ оценивания необходимого объема выборки:

     (14)

Итак, по формуле (12) можно рассчитать оценку выборочной доли, затем по формуле (14) - объем выборки, после чего, вернувшись к выборочной доле, найти приемочное число. Необходимо отметить, что результаты расчетов по рассматриваемым асимптотическим формулам отнюдь не всегда дают натуральные числа, поэтому необходима корректировка полученных результатов.

Рассматриваемые формулы позволяют решить сформулированную выше задачу - по заданным приемочному и браковочному уровням дефектности подобрать такой одноступенчатый план контроля, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам

f(p_пp) > 1 - , f(p_бр) < .

Поэтому при практической работе корректировка асимптотических результатов должна быть направлена на выполнение указанных неравенств.

Пример. Пусть p_пp = 0,02, p_бр = 0,09. Тогда по формуле (12) приемочная доля равна

Необходимый объем выборки рассчитывается по формуле (14):

Полученное число не является натуральным, поэтому вполне естественно откорректировать объем выборки до ближайшего целого, т.е. до 97. Тогда

Заменив с на ближайшее натуральное число, получаем в результате асимптотических расчетов одноступенчатый план (97, 6).